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"La fragilità della bellezza nella matematica e nell'arte"

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Sarah Jones Nelson ed Enrico Bombieri

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Una collaborazione sotto gli auspici della School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey

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Pubblicato in L' arte nella vita dei matematici

Anna Kepes Szemerédi, editore, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2015

Esiste la bellezza in matematica? La questione riguarda gli oggetti matematici e le loro relazioni , vero soggetto di dimostrazioni verificabili. I matematici generalmente concordano sul fatto che la bellezza esiste nella bellezza strutturale dei teoremi e delle dimostrazioni, in gran parte visibile solo ai matematici stessi, e nella bellezza matematica che tutti possono vedere nell'arte e nella natura. Motivi inconfutabilmente belli emergono universalmente dalla relazione tra elementi e oggetti nelle tessere di mosaico, ad esempio, nella pittura di paesaggi, nei fiumi che scorrono e nelle simmetrie a spirale di pigne e conchiglie. I modelli matematici nelle formazioni fisiche ti danno un senso di bellezza immutato dalla variazione dei suoi elementi: universalità, simmetria, semplicità, eleganza e potenza.

La critica della bellezza nell'arte è fragile perché dipende da criteri di giudizio relativi che variano nel tempo da una cultura all'altra. Per Leibniz, questo spiegava la differenza tra verità di fatto e verità di ragionamento che riflettono l'intenzione critica. Fino al tardo Illuminismo, una distinzione formale di Kant era incomprensibile tra la percezione della bellezza naturale come un bell'oggetto, e della bellezza artistica come una bella rappresentazione di un oggetto. Nella tradizione del suo tempo, Kant utilizzò la teoria greca classica delle proporzioni nella natura e nell'arte per verificare le sue credenze nella verità fattuale della bellezza. Tuttavia, l'analisi di fatti, valori e gusto di Hume, combinata con la teoria dell'etica e delle emozioni come l'invidia e l'amore di Spinoza, aveva già reso la vita interiore delle emozioni forti una norma permanente del giudizio critico. Ciò ha rovesciato l'idea rinascimentale che l'arte è lo specchio della natura che unisce verità ottica e bellezza fattuale, mostrata per la prima volta nella nuova matematica della prospettiva di Alberti. L'unificazione greca classica di verità, bellezza e bontà morale - un tropo platonico per realisti che la pensano allo stesso modo come Brunelleschi, Giotto, Leonardo e Michelangelo - contraddice selvaggiamente qualsiasi giudizio amorale o critica della bellezza nell'arte astratta e tardo moderna.

Leon Battista Alberti fu filosofo e abbreviatore o segretario della Curia Pontificia. Dapprima formalizzò la prospettiva a un punto nel De pictura (1435) e nel volgare Della pittura (1436). Alberti collaborò a Firenze con l'architetto Filippo Brunelleschi. A Roma lavorò con Luca Pacioli, matematico e collaboratore di Leonardo da Vinci a Milano al De divina proporzioni (1509). Brunelleschi aveva conseguito il brevetto in matematica e aveva studiato con Paolo dal Pozzo Toscanelli, matematico, astronomo, cosmografo e consigliere fiorentino di Colombo. Pacioli fu probabilmente allievo di Piero della Francesca, pittore, matematico e teorico del De prospectiva pingendi (1474). Questo trattato formalizzò la sua Madonna di Brera (1472-1474) squisitamente simmetrica allo stesso modo della sua pala d'altare di Sant'Antonio (1470 circa). La prospettiva pittorica, la rappresentazione bidimensionale dello spazio tridimensionale, diventava così una filosofia e una regola d'arte da preferire, diceva Leonardo, a tutti i sistemi di apprendimento per il suo fondamento nelle certezze della fisica e della matematica – e di committente con gusto per il trompe-l'oeil .

La notevole continuità del realismo platonico nell'arte e nella matematica si estende alla credenza ampiamente diffusa che i numeri, la geometria e tutta la matematica siano rivelati da un regno assoluto di oggetti o forme pure paradossalmente indipendenti dai sensi e dalla realtà fisica. Nella visione platonica, un matematico scopre oggetti preesistenti come il rapporto aureo; mentre il formalista inventa e costruisce prove come un architetto o un costruttore di oggetti matematici fatti con i materiali di una data cultura. La maggior parte dei matematici sono platonici la domenica che lavorano in modo formalistico nei giorni feriali. Molti giocano su una moltitudine di sistemi matematici oggettivamente distinti e validi – un tempo universali per Platone – in un mondo di abbondante platonismo.

Il rapporto aureo φ è un oggetto semplice che esprime una struttura nascosta fondamentale dell'arte rinascimentale. Nella geometria euclidea, è il rapporto tra il lato della stella-pentagono regolare e il lato del pentagono regolare. Nella matematica contemporanea, è uguale a 1 più la radice quadrata di 5 divisa per 2:

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Le proprietà della sezione aurea sono profondamente legate al numero 5, argomento di grande fascino sin da quando Platone affermava che i numeri derivano da oggetti preesistenti rivelati e scoperti dal regno delle forme pure. La storica Annemarie Schimmel, in Das Mysterium der Zahl , l'edizione inglese Il mistero dei numeri (1983), ha documentato l'associazione nell'antichità del numero 5 con il pentagramma mistico della conoscenza cabalistica. Varianti apocrife di Genesi 1:27 descrivono l'inizio edenico dell'universo in cui il numero 5 ha avuto origine dall'unione dei numeri 2 e 3, che simboleggiano le prime forme di donna e uomo, con 1 che simboleggia Dio e l'unificazione della realtà fisica.

Strutture a cinque emergono ovunque in natura e nell'arte. Ad esempio, la proporzione del rapporto aureo è chiaramente visibile nelle simmetrie di cinque volte in alcune piante e fiori. L' Uomo Vitruviano (1490) di Leonardo suggerisce che il corpo umano stesso sia una stella-pentagono che esprime il rapporto aureo come metafora della natura e modello di simmetria e proporzione nel design. Le opere di Piero esprimono strutture quintuplicate nella geometria lineare della commensurazione , il suo standard per giudicare il contorno e la proporzione. La pala d'altare di Sant'Antonio presenta una suddivisione centrale in cinque spazi verticali con una suddivisione verticale in cinque sezioni. La Madonna di Brera presenta tre santi e due angeli a sinistra con e due angeli e tre santi a destra, completando la simmetria. Un mecenate parzialmente corazzato sulla destra, Federigo da Montefeltro, duca di Urbino, conferisce un forte elemento di tensione che rompe la simmetria. Piero ristabilisce così un armonioso equilibrio dove il Duca si inginocchia, con le mani in preghiera, dirigendo diagonalmente lo sguardo verso la Vergine e il Figlio neonato. Un altro noto dipinto di Piero, la Natività (1470 circa), vede il fragile Bambino circondato a sinistra da cinque angeli che cantano e suonano il liuto, con due pastori, San Giuseppe, e l'asino e il bue a destra, sullo sfondo questo capolavoro di asimmetria; la Vergine in adorazione e la misteriosa colomba dello Spirito Santo in alto completano questa tenera immagine di umiltà. Matematicamente ancora più elegante è la sua Madonna del Parto (1460 circa), caratterizzata dal paradosso di una Vergine incinta contornata da una tenda a forma di pentagono. Piero intendeva nelle sue opere rappresentare gli elementi della narrativa biblica in un linguaggio simbolico che unificava il formalismo con l'analisi matematica. Pragmatico maestro di tecnica, non si è mai fermato alla mera preveggenza e non ha lasciato nulla al caso.

La sezione aurea non solo è un semplice oggetto antico; svolge anche un ruolo profondo nella formazione della matematica moderna. Essendo il numero irrazionale compreso tra 1 e 2 più distante dai numeri razionali, il rapporto aureo ha la proprietà di essere l'unico numero compreso tra 1 e 2 che richiede il valore maggiore del denominatore q per raggiungere una data approssimazione per il numero razionale p diviso per q. Citiamo due formule sorprendentemente eleganti per la sezione aurea. Nel primo, è uguale alla radice quadrata di 1 più la radice quadrata di 1 più la radice quadrata di 1 in una costruzione annidata all'infinito; nel secondo, φ è uguale a 1 diviso 1 più 1 diviso 1 più 1 diviso 1 in una costruzione annidata all'infinito. La seconda formula è la più interessante delle due come punto iniziale per la prova dell'estrema irrazionalità del rapporto aureo.

La sequenza di Fibonacci, dal nome di Leonardo da Pisa (detto Fibonacci), esprime la sezione aurea con bella precisione. Fibonacci lo pubblicò per la prima volta nel Liber Abaci (1201). Aveva lavorato per suo padre in una dogana vicino ad Algeri e aveva studiato con matematici musulmani lungo le rotte commerciali del Mediterraneo per diventare il matematico più famoso dell'Europa medievale. La sequenza di Fibonacci è 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . all'infinito, dove ogni numero dopo i primi due è la somma dei due numeri precedenti. Fornisce le migliori approssimazioni razionali alla sezione aurea; le frazioni  Fn+1/Fn  avvicinati sempre di più a . La successione di Fibonacci è espressa anche in termini di rapporto aureo:

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La geometria euclidea e la sezione aurea costituiscono il primo fondamento della bellezza nella storia della matematica. Immaginate che nel 1899, più di due millenni dopo che Euclide scrisse Elements , il matematico Frank Morley scoprì l'ultimo teorema veramente nuovo della geometria euclidea. Il teorema di Morley afferma che i tre punti in cui si incontrano i trisettori degli angoli di un triangolo arbitrario sono i vertici di un triangolo equilatero. Bellissimo! Ci si potrebbe chiedere perché un risultato come il teorema di Morley non si è mai verificato nella geometria euclidea classica: probabilmente perché i greci dell'antichità classica non erano in grado di ottenere la trisezione di un angolo utilizzando costruzioni euclidee. Oggi i matematici sanno che la trisezione di un angolo non può essere eseguita nell'ambito della geometria euclidea piana. Considerano questo risultato 'negativo' una bella conseguenza della teoria di Galois (1832) sulla risolubilità delle equazioni algebriche, ottenuta mediante profondi risultati sui gruppi di permutazione. Quindi, quella che una volta poteva essere stata una macchia sulla geometria euclidea - l'impossibilità di dimostrare il teorema di Morley nel suo contesto - ora è una bella scoperta che aumenta la nostra conoscenza della geometria, della logica e delle corrispondenti formazioni di simmetria.

Potresti dedurre dalla nostra storia della sezione aurea che è un pilastro fondamentale di tutta la matematica. Ma l'equazione di Laplace  Uxx + Uyy + Uzz = 0  è molto più significativo. Appare ripetutamente nell'analisi, nella probabilità, nella fisica matematica, nell'astrofisica, nella chimica, persino nell'ingegneria finanziaria – anzi in tutti i casi che coinvolgono lo stato di equilibrio di un sistema. Esprime magnificamente la potente rilevanza della matematica per questioni aperte profonde, per esempio, in filosofia riguardo alla causalità. Il Mécanique céleste di Laplace (1829) sviluppa la meccanica newtoniana e il calcolo differenziale al punto che il determinismo sembra uno stato inevitabile della realtà fisica: conoscere le forze e conoscere la posizione e la velocità di ogni particella nell'universo in un dato momento, lo stato dell'universo in qualsiasi momento successivo è determinato in modo univoco; così con Laplace, il caso, l'azione libera o l'agenzia sono finzioni causali sulle vere leggi della natura. Ma la sua equazione è solo un semplice modello matematico. È corretto o​ elegante trarne conseguenze filosofiche così radicali, o suggerire che le leggi della natura non siano mai state riviste da nuove scoperte?

Ora, con l'avvento della teoria dei quanti sappiamo che il sistema di Laplace non può descrivere tutti i meccanismi dell'universo osservabile. In meccanica quantistica lo stato dell'universo è dato da una funzione d'onda che soddisfa l'equazione di Schrödinger, parente stretta dell'equazione di Laplace. Per Schrödinger anche l'evoluzione di è deterministica: conoscendo la funzione d'onda in un momento essa è determinata in modo univoco in tempi successivi. Tuttavia, la funzione d'onda descrive solo la probabilità dei risultati di un'osservazione. Quasi un secolo dopo la formulazione della teoria quantistica non c'è ancora consenso sul suo dominio di validità, forse perché contraddice la meccanica classica e la forte visione – alla base della scienza e della società – che i processi naturali e le azioni umane sono determinati da il passato e semplici meccanismi di causa ed effetto. Ma come possono le azioni che producono qualcosa di così sorprendentemente complesso e indeterminato come una bella nuova prova, o l'esuberante realismo del Rinascimento, emergere in un universo predeterminato da leggi fisse?

L'idea che la matematica sia intrinseca alle leggi della natura, alle emozioni umane e alle arti si manifesta meravigliosamente nella più celebre incisione di Albrecht Dürer, Melencolia I (1514). La sua immagine centrale di una donna alata che guarda oscuramente verso l'interno - come un oracolo che contempla le forme oscure del cosmo - simboleggia la melencholia imaginativa , un tropo moderno della medicina greca classica e l'analisi dei quattro umori o temperamenti. Lei personifica il genio dell'arte e la profonda realtà matematica: una sfera in primo piano il perfetto universo finito; un poliedro, il romboedro troncato, rappresenta la geometria descrittiva dei solidi di Archimede; astrolabi e quadranti suggeriscono la misura dello spazio e del tempo. Un sottile quadrato magico di numeri interi 4 x 4 sulla punta della sua ala si riferisce al numero di Fibonacci ed è un segno dell'ordine matematico nascosto della natura che trasforma il male in bene e sconfigge l'ansia, diceva il filosofo rinascimentale Marsilio Ficino. La data 1514, al centro dell'ultima fila della magia  quadrato,  festeggia  il  completamento  di  questo  capolavoro.  Dürer,  un  Artista tedesco e matematico di trattati su prospettiva e proporzione, condivise con i suoi contemporanei italiani teorizzatori una filosofia dell'arte e una teologia della vita interiore che rivoluzionarono l'Europa della Riforma.

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L'immagine di Dürer della vita interiore predice le gioie paradossali delle verità matematiche che informano anche la musica. Considera la tua esperienza di come un concerto di Bach o una sonata di Mozart approfondisce la tua percezione della realtà. La struttura della musica è matematica, come dimostrò per primo Pitagora. Così è con gli oggetti durevoli della matematica che vanno dalla musica all'arte e oltre, alla selezione culturale e naturale e avanti fino alla cosmologia che descrive la formazione simmetrica della materia all'inizio dell'universo.

Le formazioni simmetriche della materia esprimono la bellezza in matematica. Il concetto di gruppo esprime simmetria in matematica. Che cos'è un gruppo? Considera qualsiasi oggetto, concreto o astratto. Una simmetria dell'oggetto – matematicamente, un automorfismo – è una mappatura dell'oggetto su se stesso che conserva tutte le sue proprietà. Anche il prodotto di due simmetrie, una seguita dall'altra, è una simmetria, e ogni simmetria ha un inverso che la disfa. Le simmetrie di un quadrato si possono ottenere ruotandolo di 90 gradi o riflettendolo sull'asse verticale. I matematici considerano i gruppi di Lie (pronunciato lee ) come una bellissima base continua per gran parte della matematica e anche per la fisica. Oltre ai gruppi di Lie continui ci sono gruppi finiti e discreti non continui; alcuni sono ottenibili dai gruppi di Lie per riduzione ad un'impostazione finita o discreta.

Chiunque sfidi il labirinto dell'interior design conosce le spaventose simmetrie delle carte da parati nei tipi reticolari di tassellature matematiche per il parallelogramma, l'esagono, il triangolo, il rettangolo, il quadrato e il rombo, a varie rotazioni e assi di riflessione. A differenza delle tassellature reticolari, che sono periodiche, ci sono anche tassellature quasicristalline autosimili aperiodiche chiamate tassellature di Penrose, dal nome del loro scopritore, il matematico e fisico Roger Penrose. Mentre il numero di tipi di reticolo distinti è finito - ne esistono esattamente 17 - c'è un continuum di distinti tasselli di Penrose. Ma per autosomiglianza, ogni pezzo di una data piastrellatura di Penrose appare infinite volte in ogni altra piastrellatura di Penrose!  I tasselli di Penrose sono stati una grande sorpresa per i matematici, dal momento che le loro proprietà spettrali sono puntiformi, simili ai modelli di diffrazione dei raggi X puntiformi dei cristalli naturali.

Ancora più sorprendente è stata la scoperta, vincitrice del premio Nobel, di Daniel Schechtman che i quasicristalli esistono in natura come simmetrie quintuplicate di leghe aperiodiche di alcuni metalli. Il fisico Paul Steinhardt, uno degli scopritori dei quasicristalli, ha magnificamente mostrato la loro connessione con la sorprendente somiglianza tra le piastrelle di Penrose e i mosaici islamici del primo medioevo, o le piastrelle di Girih. Immagina che sei secoli prima di Penrose, artisti e architetti islamici introdussero motivi pentagonali e decagonali, piastrelle di simmetrie pentagonali parziali che esprimono la fragile bellezza dell'arte senza tempo. Queste sottigliezze astratte in matematica sono strumenti per descrivere la natura e le opere d'arte come le piastrelle Girih e Penrose, fatte semplicemente con due tessere rombiche di base, una stretta e una larga, in forme precise legate al rapporto aureo, al pentagono e ai pentagoni a stella . Gli strumenti matematici di descrizione ci aiutano a vedere le strutture universali altrimenti nascoste in natura, la sezione aurea, il pentagono a stella, ognuna delle quali dà origine a norme formali di precisione nell'astrazione sociale dalla matematica pura all'arte astratta.

I gruppi finiti di simmetrie, come le simmetrie di un quadrato o di un cubo, hanno sfidato a lungo la classificazione fino a quando i matematici hanno classificato con successo tutti i gruppi semplici finiti. Il teorema di classificazione è una prova che oggi occupa più di 3.000 pagine e ha richiesto oltre 40 anni di sforzi collettivi di più di 100 matematici. Questo teorema mette ordine nella teoria dei gruppi finiti. I gruppi semplici sono importanti perché sono una sorta di pietra miliare da cui è costruito ogni gruppo finito. Ad esempio, un gruppo di rotazioni di un poligono con 15 lati può essere ottenuto combinando rotazioni di 120 gradi e rotazioni di 72 gradi, con quest'ultimo che genera gruppi semplici. Gruppi alternati, a partire dal gruppo icosaedrico, e gruppi finiti di tipo Lie, formano un numero finito di famiglie di gruppi semplici, ma con infiniti membri in ciascuna famiglia. Come i classici gruppi di Lie, sono strettamente associati alle simmetrie delle geometrie sottostanti. Esistono anche 26 gruppi eccezionali, del tutto diversi dai gruppi di tipo Lie, noti come gruppi sporadici. Due gruppi sporadici sono qui rilevanti: il gruppo di simmetria di Conway, dal nome di John Conway, le simmetrie (fino a un riflesso) di un reticolo molto notevole in 24 dimensioni, il reticolo di Leech; e il gruppo Fischer-Griess F1 , dimostrato da RL Griess durante una visita all'Institute for Advanced Study. Soprannominato anche il mostro dai matematici, il gruppo Fischer-Griess è il più grande e gigantesco gruppo sporadico contenente

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

elementi. Contiene al suo interno 21 dei 26 gruppi sporadici, e il gruppo Conway è uno di questi! Con uno sviluppo totalmente inaspettato della curiosa numerologia 196883 + 1 = 196884, dove 196883 è un numero critico necessario per descrivere il Mostro e 196884 è un altro numero - dallo studio di 150 anni sulle funzioni ellittiche e automorfe - il Mostro ha ora stato addomesticato dalla sua chiara connessione a molti campi distinti della matematica e della fisica matematica. Non è bello che la cooperazione persistente dei matematici possa domare il Monster F1 ?

Si potrebbe dire di più sulla bellezza in matematica, dal fragile processo di una robusta revisione tra pari a qualsiasi consenso su ciò che è verificabile vero e bello. Anche la cosa più semplice in matematica, ovvero la sequenza numerica 1, 2, 3, . . . da cui ha preso vita tutta la matematica, racchiude in sé un mistero profondo, la sequenza 2, 3, 5, 7, . . . di numeri primi che costituiscono gli elementi costitutivi della moltiplicazione. I matematici hanno già scoperto belle relazioni tra le proprietà dei numeri primi, alcune saldamente stabilite. Ma le relazioni più importanti sono ancora congetturali, sollevando questioni aperte in analisi, geometria e persino fisica. Soffermarci ulteriormente qui andrebbe oltre il nostro scopo attuale, quindi concludiamo la nostra lista di splendidi esempi con una famosa costruzione che collega la matematica alla logica e alla filosofia.

I matematici sono sempre alla ricerca di una bella dimostrazione, mai soddisfatti solo di sapere che qualcosa è vero. Vogliono sapere perché è vero. Prendete il continuum, un'antica fonte di contesa tra filosofi greci come Zenone, il suo paradosso derivante dalla divisibilità infinita. George Cantor ha dato una precisa definizione matematica del continuum che riflette la nostra ingenua visione del suo essere la totalità di tutti i numeri, scritta in notazione decimale come un intero seguito da una sequenza infinita di cifre decimali, non tutte uguali a 9 da un certo punto in poi. (La definizione di Cantor è stranamente vicina alla concezione di Eudosso di un numero.)

Cantor ha prodotto un famoso argomento diagonale noto come teorema di Cantor dell'innumerevolezza del continuum. Questa semplice e potente dimostrazione mostra che il continuum, ovvero tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, non può essere elencato in un elenco come primo, secondo, terzo e così via. Quindi il continuum non è numerabile. Supponiamo per controesempio che sia numerabile in una lista infinita:

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0.643546675432534645600112. . .

0.100053453647545546043860. . .

0.0000000000000100004534237 . . .

0.999999999961045674732017 . . .

0.222955600333054564501179 . . .

0.141592653589793238462643. . .

0.777777777777777777777777 . . .

0.421047542507075505555001 . . .

0.777777771777777777777777 . . .

0.777777777177777777777777 . . .

0.010010001000010000010000 . . .

0.099999999999999900000000. . .

Il marcatore diagonale è 0,600952741109 . . . , l' ennesima cifra dell'ennesimo numero. Se cambi ogni cifra del numero diagonale, il risultato non può essere in nessuna riga; quindi non è nella lista. Una bella prova! Come mai? Perché dimostra universalmente che ci sono diversi tipi di infinito, l'infinito dei numeri interi positivi 1, 2, 3, . . . e l'infinito del continuum 0_______1. Intuitivamente dimostra che esiste un infinito discreto diverso dall'infinito del continuum come una retta. L'argomento diagonale di Cantor non è limitato a questo teorema; è diventato uno strumento potente anche nella logica matematica, sulla natura dell'infinito, e nell'informatica, sulla natura della complessità. Pensa alle sbalorditive conseguenze matematiche del teorema di Cantor per la geometria euclidea. Le conseguenze filosofiche hanno irrevocabilmente scosso le fondamenta dell'analisi e di ogni giudizio sintetico a priori confutando la negazione di Hume che la vera conoscenza di ogni metafisica sia possibile.

Cantor dimostrò che l'infinito numerabile dei numeri interi positivi è minore dell'infinito del continuum. La famosa ipotesi del continuo è l'affermazione che non esiste un infinito più grande dell'infinito numerabile e più piccolo dell'infinito del continuum.  La situazione tecnica è questa:  Gödel dimostrò che l'ipotesi del continuo non può essere confutata dagli assiomi della teoria degli insiemi. Paul Cohen ha dimostrato che non può essere dimostrato. Quindi l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi; non può essere né provato né smentito. La conseguenza filosofica è che il valore di verità dell'ipotesi del continuo è incerto, o nella migliore delle ipotesi, indefinito. Kant credeva che gli assiomi della geometria euclidea fossero veri. Ma ora sappiamo che esistono anche geometrie non euclidee. Inoltre, John Conway ha suggerito che ci sono semplici asserzioni matematiche instabili che non seguono dagli assiomi della teoria degli insiemi. Che cos'è, allora, la verità in matematica? C'è qualche differenza fondamentale tra sapere se gli assiomi della geometria euclidea sono veri e sapere se l'ipotesi del continuo è vera? In ogni caso, vediamo che la verità è intrinsecamente fragile e non va identificata con l'assenza di contraddizione.

Il ragionamento assiomatico e la costruzione possiedono ciascuno un diverso tipo di fragilità. Costruttivisti e intuizionisti pongono forti limiti a ciò che può essere fatto, mentre il ragionamento assiomatico può solo dimostrare l'esistenza di un oggetto senza alcun metodo per costruirlo. Cioè, il ragionamento assiomatico può mostrare che l'ipotesi che l'oggetto non esiste porta a una contraddizione. L'argomento diagonale di Cantor dimostra che il continuum non è elencabile; non dice nulla, invece, sulla struttura del continuum. Inoltre, il costruttivismo sostiene che il ragionamento costruttivo è corretto. Ma la pratica della grande maggioranza dei matematici consiste nell'utilizzare il ragionamento assiomatico non costruttivo e quindi nell'investigare le possibilità di costruzione che possono essere semplicemente una questione di gusti.

Hume era lo scettico profeta del gusto preannunciando il ruolo del soggetto – il sé – nella percezione della bellezza come bene supremo del piacere estetico. Molto prima che Freud facesse del principio di piacere la norma fissa dell'intenzione umana, Hume aveva fatto del piacere estetico lo standard di bellezza verificato sull'evidenza dei sensi. Ma l'estetica degli oggetti di Kant prima della percezione della bellezza – e della verità – ha rivisto quella relazione tra realtà fisica e non fisica.  Kant il platonico fece della bellezza in sé l'emanazione rivelata della verità matematica e delle pure forme o oggetti metafisici. Come si verifica la verità come bellezza se è una rivelazione dal regno delle forme pure di Platone? Su quale evidenza dei sensi si verifica una rivelazione? E i sensi sono verificabili in modo affidabile? La percezione della bellezza è una mera proiezione del desiderio di piacere per scongiurare o sopprimere il dolore? Un vero oggetto matematico è fisico o no? Che cosa è un oggetto reale? La verifica matematica della verità partecipa alla realtà fisica perché scoperta, o perché inventata dalla cultura delle opere umane e dai fragili processi di selezione culturale? Una prova salva davvero l'apparenza di forme pure scoperte in un regno mistico di oggetti belli?

Domande analoghe nell'arte, nella poesia, nella musica e nella storia informano la questione della bellezza a causa del suo ruolo profondamente personale nella formazione delle opere umane e dei valori umani. I matematici lavorano come poeti o pittori: la differenza è che una stanza di matematici che osserva un problema ottiene la stessa risposta all'interno di una comunità che valorizza e richiede consenso. La costruzione di oggetti matematici da parte degli individui è fragile; questi oggetti in sé, tuttavia, sono robusti a causa di norme sociali durevoli di peer review e consenso. Come poeti, pittori e compositori di musica, i matematici hanno il loro stile e la loro tecnica. Ma la verità matematica non è solo una raccolta di teoremi, non più di quanto la pittura sia una semplice raccolta di pigmenti. Per i matematici, come ha dimostrato Tarski, i teoremi sono verità stabilite, ottenute da una fragile costruzione di prove che porta al consenso di verifica. Il processo dalla costruzione fragile alla verifica robusta non descrive solo le norme sociali della comunità matematica; indica anche il graduale discernimento delle relazioni tra gli oggetti matematici di una dimostrazione.

I matematici, a volte involontariamente, tendono ad accettare il concetto di aspetto di Wittgenstein – la percezione temporale delle relazioni interne di un oggetto – come una parte essenziale della matematica. Questo perché ogni dato aspetto, elemento o proprietà delle relazioni tra oggetti o prove si dispiega indeterminatamente nella luce mutevole della percezione, proprio come l'aspetto relazionale degli oggetti tende a cambiare mentre guardi un dipinto. Una poesia, una sinfonia, un dipinto o una narrazione scritta fissata nel tempo non cambia mai, ma il modo in cui leggi un testo o ascolti musica o guardi l'arte cambia con i cambiamenti temporali nelle emozioni, nel gusto o negli angoli di luce e spazio che rendono irrilevante il consenso. La storia portatrice di verità viene fatta indipendentemente dalla bellezza o dalla bontà degli eventi della rappresentazione accademica, anche se gli storici apprezzano il solido consenso sulle fragili verità storiche come oggetti e relazioni dell'analisi fattuale. Raramente la poesia è scritta ora per essere bella o anche necessariamente vera, ma piuttosto per soddisfare una potente coscienza preverbale del modo in cui le cose sono cambiate dalla poesia a prescindere da qualsiasi analisi formale dell'aspetto. Citando Keats,

“La bellezza è verità, la verità bellezza, – questo è tutto

          Voi sapete sulla terra, e tutto ciò che avete bisogno di sapere."

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